SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

 NAMA : NADIA SOFIANI PUTRI

KELAS : X MIPA 2

NO. ABSEN : 20 

PENGERTIAN SPLTV (SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL)

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sebuah persamaan matematika yang meliputi 3 persamaan linear yang masing – masing dari persamaan yang bervariabel tiga (contoh x, y dan z). Bentuk umum SPLTV di dalam x, y, dan juga z bisa ditulis seperti berikut ini :

ax + by + cz = d                                  a1x + b1y + c1z = d1

ex + fy + gz = h             atau              a2x + b2y + c2z = d 2
ix + jy + kz = l                                     a3x + b3y + c3z = d3

Dengan demikian ⇒ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 = merupakan bentuk  bilangan-bilangan real.

• a, e, I, a1, a2, a3 = ialah bentuk koefisien dari x.
• b, f, j, b1, b2, b3 = ialah bentuk koefisien dari y.
• c, g, k, c1, c2, c3 = ialah bentuk koefisien dari z.
• d, h, i, d1, d2, d3 = ialah bentuk konstanta.
• x, y, z = ialah variabel atau peubah.

CARA MENENTUKAN PENYELESAIAN SPLTV DENGAN METODE DETERMINAN

Metode determinan sering juga disebut dengan metode cramer. Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Determinan dapat pula digunakan untuk mencari penyelesaian SPLDV maupun SPLTV.

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode determinan adalah sebagai berikut :

- Langkah Pertama : ubahlah sistem persamaa linear tiga variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut.

Misalkan terdapat sistem persamaan berikut.

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut

A . X = B …………… Pers. (1)

Dengan:

A	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

X	=	x
		y
		z

B	=	d1
		d2
		d3

Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut.

a1	b1	c1		x	=	d1
a2	b2	c2		y		d2
a3	b3	c3		z		d3

- Langkah Kedua : tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (Dx), determinan y (Dy), dan determinan z (Dz) dengan persamaan berikut.

D	=	a1	b1	c1	a1	b1	=	(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
		a2	b2	c2	a2	b2
		a3	b3	c3	a3	b3

D adalah determinan dari matriks A.

Dx	=	d1	b1	c1	d1	b1	=	(d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3) – (d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1)
		d2	b2	c2	d2	b2
		d3	b3	c3	d3	b3

Dx adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dy	=	a1	d1	c1	a1	d1	=	(a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3) – (a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1)
		a2	d2	c2	a2	d2
		a3	d3	c3	a3	d3

Dy adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dz	=	a1	b1	d1	a1	b1	=	(a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3) – (a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1)
		a2	b2	d2	a2	b2
		a3	b3	d3	a3	b3

Dz adalah determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan elemen-elemen matriks B.

- Langkah Ketiga : tentukan nilai x dan y dengan persamaan berikut.

x	=	Dx
		D

y	=	Dy
		D

z	=	Dz
		D

CONTOH SOAL  DENGAN MENGGUNAKAN METODE DETERMINAN

tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

2x + y + z = 12

x + 2y – z = 3

3x – y + z = 11

Jawab :

- Mengubah SPLTV ke bentuk matriks

Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.

2	1	1		x	=	12
1	2	−1		y		3
3	−1	1		z		11

Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.

- Menentukan nilai D

D	=	2	1	1	2	1
		1	2	−1	1	2
		3	−1	1	3	−1

D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]

D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]

D = 0 − 9

D = −9

- Menentukan nilai Dx

Dx	=	12	1	1	12	1
		3	2	−1	3	2
		11	−1	1	11	−1

Dx = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]

Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]

Dx = 10 − 37

Dx = −27

- Menentukan nilai Dy

Dy	=	2	12	1	2	12
		1	3	−1	1	3
		3	11	1	3	11

Dy = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]

Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]

Dy = −19 – (–1)

Dy = −18

- Menentukan nilai Dz

Dz	=	2	1	12	2	1
		1	2	3	1	2
		3	−1	11	3	−1

Dz = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]

Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]

Dz = 41 − 77

Dz = −36

- Menentukan nilai x, y, z

Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.

x	=	Dx	=	−27	=	3
		D		−9

y	=	Dy	=	−18	=	2
		D		−9

z	=	Dz	=	−36	=	4
		D		−9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {(3, 2, 4)}.

DAFTAR PUSTAKA :

https://dosenpintar.com/spltv/

https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/11/penyelesaian-SPLTV-metode-determinan.html