SISTEM PERSAMAAN LINEAR - KUADRAT

 NAMA : NADIA SOFIANI PUTRI

KELAS : X MIPA 2

NO. ABSEN : 20

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Sistem persamaan linear-kuadrat (SPLK) adalah sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua. Berdasarkan karakteristik dari bagian kuadratnya, SPLK dikelompokkan sebagai berikut.

1. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit.
2. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit.

Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK)

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) disusun oleh sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. SPLK terdiri dari 2 jenis, yaitu SPLK Eksplisit dan SPLK Impilsit.

Suatu persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk 

$y=f\left(x\right)$ atau $x=f\left(y\right)$.
Contoh:

• $x=2y-1\to x=f\left(y\right)=2y+1$
• $y=3x+1\to y=f\left(x\right)=3x+1$
• $y=x^2+5x+6\to y=f\left(x\right)=x^2+5x+6$
• $x=y^2+2y+1\to x=f\left(y\right)=y^2+2y+1$

Suatu persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $y=f\left(x\right)$ atau $x=f\left(y\right)$. Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk $f(x,y)$
Contoh:

• $x^2+y^2-25=0$
• $x^2+y^2-6x+8y+10=0$
• $x^2+2xy+y^{2}8y+10=0$

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Kuadrat Implisit, yaitu:              

$\begin{array}{cc}y& =mx+n\cdots \text{bagian linear}\\ y& =a{x}^2+bx+c\cdots \text{bagian kuadrat}\end{array}$
dimana $m,n,a,b,c$ adalah bilangan real dan $a\ne 0$. Untuk bagian linear gambarnya berupa garis dan bagian kuadrat gambarnya berupa parabola.

Untuk menyelesaikan SPLK implisit dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
$\begin{array}{cc}y& =y\\ a{x}^2+bx+c& =mx+n\\ a{x}^2+(b-m)x+c-n& =0\end{array}$

Persamaan kuadrat $a{x}^2+(b-m)x+c-n=0$ umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai $x_1$ dan $x_2$ lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai $y_1$ dan $y_2$.

Himpunan penyelesaian sistem persamaan adalah $\left\{\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\right\}$.

Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari $a{x}^2+(b-m)x+c-n=0$ ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:

• Jika $D>0$ maka garis dan parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
• Jika $D=0$ maka garis dan parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
• Jika $D<0$ maka garis dan parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian

Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK)

Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPLK) disusun dua buah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. Bentuk umum Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) adalah:
$\begin{array}{cc}y& =p{x}^2+qx+r,p\ne 0\text{parabola}\\ y& =a{x}^2+bx+c,a\ne 0\text{parabola}\end{array}$
dimana $p,q,r,a,b,c$ adalah bilangan real dan $p,a\ne 0$.

Untuk menyelesaikan SPKK dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
$\begin{array}{cc}y& =y\\ a{x}^2+bx+c& =p{x}^2+qx+r\\ (a-p)x^2+(b-q)x+c-r& =0\end{array}$

Jika $a-p\ne 0$ maka diperolah persamaan kuadrat $(a-p)x^2+(b-q)x+c-r=0$, ini umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai $x_1$ dan $x_2$ lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai $y_1$ dan $y_2$.
Himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\right\}$.

Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari $(a-p)x^2+(b-q)x+c-r=0$ ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:

• Jika $D>0$ maka kedua parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
• Jika $D=0$ maka kedua parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
• Jika $D<0$ maka kedua parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK)

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
y = x2 - 4x + 3
y = x - 3

Penyelesaian

y = x2 - 4x + 3
y = x - 3
Substitusi y = x2 - 4x + 3 ke y = x - 3 maka
x2 - 4x + 3 = x - 3
x2 - 4x + 3 - x + 3 = 0
x2 - 5x + 6 = 0
(x - 3)(x - 2) = 0
x - 3 = 0 atau x - 2 = 0
x = 3                   x = 2
Kemudian substitusikan nilai x ke persamaan y = x - 3
x = 3 --> y = 3 - 3 = 0
x = 2 --> y = 2 - 3 = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0), (2, -1)}

Contoh 2
Diketahui sistem persamaan
y = x2 + px - 3
y = x - 4
Tentukan nilai p agar sistem persamaan di atas hanya mempunya satu penyelesaian saja!

Penyelesaian
y = x2 + px - 3
y = x - 4
Substitusi y = x2 + px - 3 ke y = x - 4 maka,
x2 + px - 3 = x - 4
x2 + px - 3 - x + 4 = 0
x2 + px - x + 1 = 0
x2 + (p - 1)x + 1 = 0
Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas adalah nol (D = 0) maka,
(p - 1)2 - 4(1)(1) = 0
p2 - 2p + 1 - 4 = 0
p2 - 2p - 3 = 0
(p + 1)(p - 3) = 0
p + 1 = 0 atau p - 3 = 0
p = -1                  p = 3
Jadi, nilai p agar sistem persamaannya memiliki satu penyelesaian adalah p = -1 atau p = 3

Contoh Soal Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK)

Contoh 1
Tentukan nilai a agar sistem persamaan y = ax2 + 2x - 7 dan y = 3x2 - 4x + 8, himpunan penyelesaianya adalah himpunan kosong ({ }).

Penyelesaian
y = ax2 + 2x - 7
y = 3x2 - 4x + 8
Substitusi y = ax2 + 2x - 7 ke y = 3x2 - 4x + 8 maka,
ax2 + 2x - 7 = 3x2 - 4x + 8
ax2 + 2x - 7 - 3x2 + 4x - 8 = 0
ax2 - 3x2 + 6x - 15 = 0
(a - 3)x2 + 6x - 15 = 0
Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas harus kurang dari nol (D < 0) maka
62 - 4(a - 3)(-15) < 0
36 + 60a - 180 < 0
60a - 144 < 0
60a < 144
a < 144/60
a < 12/5
Jadi, nilai a agar penyelesaian sistem persamaannya himpunan kosong adalah a < 12/5

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
y = x2 + 4x - 7
y = 9 - x2               

Penyelesaian
y = x2 + 4x - 7
y = 9 - x2
Substitusi persamaan kuadrat y = x2 + 4x - 7 ke persamaan kuadrat y = 9 - x2 maka,
x2 + 4x - 7 = 9 - x2
x2 + 4x - 7 - 9 + x2 = 0
2x2 + 4x -16 = 0
x2 + 2x - 8 = 0                               (kedua ruas dibagi 2)
(x + 4)(x - 2) = 0
x + 4 = 0 atau x - 2 = 0
x = -4                   x = 2
Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan dalam hal ini digunakan y = 9 - x2
x = -4 --> y = 9 - (-4)2 = 9 - 16 = -7
x = 2 --> y = 9 - 22 = 9 - 4 = 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-4, -7), (2, 5)}

DAFTAR PUSTAKA :

1. https://mathcyber1997.com/sistem-linear-kuadrat/#:~:text=Sistem%20persamaan%20yang%20terdiri%20atas,dengan%20bagian%20kuadrat%20berbentuk%20eksplisit.

2. https://www.defantri.com/2018/07/splk-spkk.html

3. https://www.madematika.net/2015/10/menyelesaikan-sistem-persamaan-linear.html