Sistem Pertidaksamaan Kuadrat - Linear

NAMA : NADIA SOFIANI PUTRI

KELAS : X MIPA 2

NO. ABSEN : 20

Sistem Pertidaksamaan Kuadrat - Linear

Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat ini akan lebih kita tekankan pada penyelesaiannya dimana yang melibatkan dua varibel saja. Penyelesaian yang dibahas terutama dalam bentuk grafik dan daerah arsiran yang menandakan sebagai solusinya. Daerah himpunan penyelesaiannya (DHP) kita buat dalam bentuk daerah arsiran karena solusi untuk setiap varabelnya ada lebih dari satu dan biasanya dalam semesta bilangan real. Sistem pertidaksamaan melibatkan lebih dari satu pertidaksamaan yang khusu pada artikel ini melibatkan pertidaksamaan linear dua variabel dan pertidaksamaan kuadrat dua variabel.

Pertidaksamaan linier dua variabel yaitu suatu pertidaksamaan yang memuat dua variabel dengan pangkat tertinggi satu.
Penyelesaian dari pertidaksamaa linier dua variabel ini merupakan gambar daerah pada grafik Catesius (sumbu-XY) yang dibatasi oleh suatu garis linier.

Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat, sebaiknya teman-teman ingat kembali materi persamaan garis lurus dan grafiknya serta fungsi kuadrat dan cara menggambar grafiknya. Karena kita lebih menekankan solusi sistem pertidaksamaan dalam bentuk grafik dan daerah arsiran, maka kita harus terbiasa dulu dalam menggambar grafiknya. Mari kita simak langsung penjelasannya berikut ini.

Menentukan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat

*). Grafik fungsi linear dan grafik fungsi kuadrat

       Syarat utama dalam menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat adalah mampu membuat grafiknya terlebih dahulu. 

*). Penyelesaian Sistem Pertidaksamaannya 

       Misalkan ada sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat : 

{ax+by≥c

{dx²+ex+fy≤g

Yang namanya penyelesaian adalah semua himpunan (x,y)(x,y) yang memenuhi semua pertidaksamaan. Jika nilai xx dan yy yang diminta adalah bilangan real, maka akan ada tak hingga solusinya yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaannya. 

Langkah-langkah Menentukan daerah arsiran : 

i). Gambar dulu grafik masing-masing fungsi. 

ii). Tentukan daerah arsiran setiap pertidaksamaan yang sesuai dengan perminataan soal dengan cara uji sembarang titik. 

iii). Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dengan cara mengiriskan setiap daerah arsiran setiap pertidaksamaan atau carilah daerah yang memuat arsiran terbanyak.

Contoh Soal :

1.  Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat y > x2 – 8x + 12

Jawab :

> Tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0

x2 – 8x + 12 = 0

(x – 6)(x – 2) = 0

x = 6 dan x = 2 Titik potongnya (2, 0) dan (6, 0)

> Tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0

y = x2 – 8x + 12

y = (0)2 – 8(0) + 12

y = 12 Titik potongnya (0, 12)

> Menentukan titik minimum fungsi y = x2 – 8x + 12

  

          

> Gambar daerah penyelesaiannya (Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)

Terkadang suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan jika diketahui beberapa unsurnya, yaitu

a. Jika fungsi kuadrat diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0) maka persamaannya adalah f(x) = a(x – x1)(x – x2)

b. Jika suatu fungsi kuadrat diketahui titik baliknya P(p , q), maka persamaannya adalah f(x) = a(x – p)2 + q

Aturan ini dipakai untuk menyusun pertidaksamaan kuadrat jika diketahui gambar daerah penyelesaiannya.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x+3y≥12? 

Penyelesaian : 

> Kita gambar dulu persamaan garis 2x+3y=12 

menentukan titik potong sumbu-sumbu : 

Sumbu X substitusi y = 0 → 2x + 3.0 =12 → 2x = 12 → x = 6

Sumbu Y substitusi x = 0 → 2.0 + 3y =12 → 3y = 12 → y = 4

> Substitusi titik uji yaitu (0,0) : 

(x,y) = (0,0) → 2x + 3y ≥ 12

            2.0 + 3.0 ≥12

            0 ≥ 12 (SALAH)

Artinya daerah yang memuat titik (0,0) salah (bukan solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah lawannya yang tidak memuat titik (0,0) atau daerah di atas garis.

Keterangan gambar daerah himpunan penyelesaiannya : 

Daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian 2x+3y≥12, artinya semua himpunan titik (x,y) yang ada didaerah arsiran sebagai solusinya. Daerah yang diarsir sebenarnya semua daerah yang ada di atas garis 2x+3y=12 , hanya saja yang diarsir sedikit untuk mewakili bahwa daerah himpunan panyelesaiannya adalah semua daerah di atas garisnya.

3. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12 dan y ≤ –x2 + 2x + 8 dalam tata koordinat Cartesius.

Jawab :

> Pertama akan digambar daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ 12

> Selanjutnya digambar juga daerah penyelesaian y ≤ –x2 + 2x + 8, dengan langkah langkah :

- Menentukan tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0

–x2 + 2x + 8 = 0

x2 – 2x – 8 = 0

(x – 4)(x + 2) = 0

x = –2 dan x = 4 . Titik potongnya (–2 0) dan (4, 0)

- Menentukan tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0

y = –x2 + 2x + 8

y = –(0)2 + 2(0) + 8

y = 8 . Titik potongnya (0, 8)

- Menentukan titik maksimum fungsi y = –x2 + 2x + 8

> Menggambar daerah penyelesaiannya (Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)

> Irisan dari kedua daerah penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12 dan y ≤ –x2 + 2x + 8

Gambar daerahnya adalah sebagai berikut:

Daftar Pustaka : 

> https://www.materimatematika.com/2017/11/sistem-pertidaksamaan-linier-dan-kuadrat.html?m=1

> https://www.konsep-matematika.com/2016/04/sistem-pertidaksamaan-linear-dan-kuadrat.html